El diseño de sistemas digitales involucra el manejo de operaciones aritméticas. En esta lección se implementarán los circuitos de suma y resta de números binarios.
Sumador Medio
El circuito combinacional que realiza la suma de dos bits se denomina sumador medio. La figura 3.9.1 muestra el símbolo lógico de sumador medio. En el circuito las entradas son A y By la salida S corresponde a la suma y Cout al acarreo de salida (Ver lección 1.4.).
Figura 3.9.1. Símbolo lógico del sumador medio
La tabla de verdad 3.9.1. está dada por las reglas de la suma binaria.
| X | Y | Cout | S |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Tabla 3.9.1. Tabla de verdad del sumador medio
La salida obtenida a partir de la tabla de verdad es:
X + Y = Cout S
El bit de acarreo Cout es 1, sólo cuando A y B tienen el valor de 1; por tanto entre A y B se puede establecer una operación AND:
Cout = A·B
El bit de suma S es 1, sólo si las variables A y B son distintas. El bit de acarreo es 0 a no ser que ambas entradas sean 1. Por consiguiente, la salida S puede expresarse en términos de la operación OR – Exclusiva:
S = A’·B + A·B = A Å B
El circuito se muestra en la figura 3.9.2.
Figura 3.9.2. Circuito Lógico del Sumador Medio.
Sumador Completo
El sumador completo acepta dos bits y un acarreo de entrada y genera una suma de salida junto con el acarreo de salida. La tabla 3.9.2. muestra la tabla de verdad del sumador completo. Las entradas A, B y Cin denotan al primer sumando, el segundo sumando y el acarreo de entrada. Las salidas S y Cout representan a la suma y el acarreo de salida.
| A | B | Cin | Cout | S |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tabla 3.9.2. Tabla de verdad del sumador completo
La salida S en la tabla de verdad corresponde a la operación OR- Exclusiva:
S = A·B’·Cin’ + A’·B·Cin’ + A·B·Cin + A’·B’·Cin
S = Cin’·(A·B’ + A’·B) + Cin ·(A·B + A’·B’)
S = Cin’·(A·B’ + A’·B) + Cin ·(A’·A + A’·B’ + A·B + B·B’)
S = Cin’·(A·B’ + A’·B) + Cin ·((A’ + B)·(A + B’))
S = Cin’·(A·B’ + A’·B) + Cin ·((A·B’)’·(A’·B)’)
S = Cin’·(A·B’ + A’·B) + Cin ·(A·B’ + A’·B)’
S = (A Å B) Å Cin
El mapa de karnaugh de la salida Cout se muestra en la figura 3.9.3.
Figura 3.9.3. Mapa para la salida Cout de un Sumador Completo.
La salida Cout está dada por:
Cout = A·B + A·Cin + B·Cin
El circuito se muestra en la figura 3.9.4.
Figura 3.9.4. Circuito Lógico del Sumador Completo.
Restador
En la diferencia, cada bit del sustraendo se resta de su correspondiente bit del minuendo para formar el bit de la diferencia. El préstamo ocurre cuando el bit del minuendo es menor al bit del sustraendo, de tal forma que se presta un 1 de la siguiente posición significativa.
La resta se implementa mediante un sumador. El método consiste en llevar al minuendo a una de las entradas y el sustraendo en complemento 2 a la otra entrada.
Restador Medio
El circuito combinacional que realiza la resta de dos bits se denomina Restador medio. El circuito tiene dos entrada binarias y dos salidas. La figura 3.9.5 muestra el símbolo lógico de Restador medio. En el circuito las entradas son A(minuendo) y B(sustraendo) y la salida D corresponde a la diferencia y P al préstamo de salida.
Figura 3.9.5. Símbolo Lógico del Restador Medio.
Si A³ B, existen tres posibilidades 0-0=0, 1-0=0 y 1—1=1. El resultado es el bit de diferencia D. Si A<B se tiene 0-1 y es necesario prestar un 1 de la siguiente posición significativa de la izquierda. El préstamo agrega 2 al bit del minuendo de manera similar cuando en el sistema decimal se agrega 10 al dígito del minuendo.
La tabla de verdad 3.9.3. está dada por las reglas de la resta binaria.
| A | B | P | D |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Tabla 3.9.3. Tabla de verdad del Restador medio.
La salida D coincide con la operación OR- Exclusiva y se puede expresar de la siguiente forma:
D = A’·B + A·B’
La salida P está dada por la suma de productos de los términos presentes en el renglón 2 de la tabla de verdad:
P = A’·B
El circuito se muestra en la figura 3.9.6.
Figura 3.9.6. Circuito Lógico del restador medio.
Restador Completo
El Restador completo realiza la resta entre dos bits, considerando que se ha prestado un 1 de un estado menos significativo. En la tabla 3.9.4. las entradas A, B y C denotan el minuendo, el sustraendo y el bit prestado. Las salidas D y P representan a la diferencia y el préstamo.
| A | B | C | P | D |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tabla 3.9.4. Tabla de verdad del Restador Completo.
En las combinaciones del mapa donde C=0, se tienen las mismas condiciones para el sumador medio. El resto de condiciones se vieron en la lección 4 del capítulo 1.
La función de la salida D de un restador es la misma que la salida de un sumador completo:
D = A’·B’·C + A’·B·C’ + A·B’·C’ + A·B·C = (A Å B) Å Cin
El mapa de karnaugh de la salida P se muestra en la figura 3.9.7.
Figura 3.9.7. Mapa para la salida P de un restador completo
La salida P está dada por:
P = A’·B + A’·C + B·C
El circuito se muestra en la figura 3.9.8.
Figura 3.9.8. Tabla de verdad del restador completo
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