ÁLGEBRA DE BOOLE

El álgebra booleana es la teoría matemática que se aplica en la lógica combinatoria. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar magnitudes lógicas y pueden tener sólo dos valores posibles: 1 (valor alto) ó 0 (valor bajo).

Operaciones Booleanas y Compuertas Básicas

Las operaciones boolenas son posibles a través de los operadores binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para conformar funciones lógicas. Una compuerta es un circuito útil para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.

Inversión o negación (complemento)

Esta operación se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apóstrofe en el lado superior derecho de la variable, en este curso emplearemos esta última notación. El apóstrofe (’) es un operador algebraico que invierte el valor de una variable, es decir, si X denota la señal de entrada de un inversor, entonces X’ representa el complemento de tal señal.

Ejemplo

Sí X = 0 entonces X’ = 1.

En la tabla de verdad 2.1.1. se muestra el resultado de la inversión lógica.

Ecuación	Entrada A	Salida B
B=A’	0	1
	1	0

Tabla 2.1.1. Tabla de verdad del inversor

El símbolo lógico de la negación booleana se representa en la figura 2.1.1.

Figura 2.1.1. Inversor.

Suma booleana

La representación matemática de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo más entre las dos variables.

Ejemplo

La suma booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma,

X = A + B

La suma booleana es 1 si alguna de las variables lógicas de la suma es 1 y es 0 cuando todas las variables son 0. Esta operación se asimila a la conexión paralela de contactos.

La tabla de verdad de la suma se muestra en la tabla 2.1.2.

Entrada A	Entrada B	Salida X
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Tabla 2.1.2.Tabla de Verdad de la función OR

En circuitos digitales, el equivalente de la suma booleana es la operación OR y su símbolo lógico se representa en la figura 2.1.2.

Figura 2.1.2. Símbolo lógico para la compuerta OR.

Con la correspondiente ecuación X= A + B.

El inverso de la función OR es la función NOR. La tabla de verdad se muestra en la tabla 2.1.3.

Entrada A	Entrada B	Salida X
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Tabla 2.1.3.Tabla de verdad de la función NOR

El símbolo lógico de la compuerta NOR se representa en la figura 2.1.3.

Figura 2.1.3. Símbolo lógico para la compuerta NOR

Con la correspondiente ecuación X= (A+B)’

La suma booleana difiere de la suma binaria cuando se suman dos unos. En la suma booleana no existe acarreo.

Multiplicación booleana

La representación matemática de una multiplicación booleana de dos variables se hace por medio un signo punto (·) entre las dos variables.

La multiplicación booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma,

X = A · B

La multiplicación booleana es 1 si todas las variables lógicas son 1, pero si alguna es 0, el resultado es 0. La multiplicación booleana se asimila a la conexión serie de contactos.

La tabla de verdad de la multiplicación booleana se muestra en la tabla 2.1.4.

Entrada A	Entrada B	Salida X
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Tabla 2.1.4. Tabla de verdad de la función AND

En circuitos digitales, el equivalente de la multiplicación booleana es la operación AND y su símbolo se representa en la figura 2.1.4.

Figura 2.1.4. Símbolo lógico de la función AND

con la correspondiente ecuación X= A·B

El inverso de la función AND es la función NAND. La tabla de verdad se muestra la tabla 2.1.5.

Entrada A	Entrada B	Salida X
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Tabla 2.1.5.Tabla de verdad de la función NAND

El símbolo lógico de la compuerta NAND se representa en la figura 2.1.5.

Tabla 2.1.5. Símbolo lógico de la función NAND

Con la correspondiente ecuación X = (A·B)’

Ejemplo Visual

Propiedades de las Operaciones Booleanas

Las operaciones booleanas están regidas por tres leyes similares a las del álgebra convencional. Estas incluyen las leyes conmutativas de la suma y la multiplicación y la ley distributiva.

Leyes conmutativas en dos variables

1. Ley conmutativa de la suma se enuncia como sigue
   
X + Y = Y + X


En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR.


2. Ley conmutativa de la multiplicación

X·Y = Y· X

En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta AND.

Leyes asociativas en tres variables

1. Ley asociativa de la adición, se escribe en forma algebraica de la siguiente forma
   
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C


En la figura 2.1.6 se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas OR,



Figura 2.1.6. Ley asociativa de la adición



2. Ley asociativa de la multiplicación

A·( B· C) = ( A·B )· C

En la figura 2.1.7 se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas AND,

Figura 2.1.7. Ley asociativa de la multiplicación

Ley distributiva para tres variables

En el álgebra de Boole, la multiplicación lógica se distribuye sobre la suma lógica,

A·( B + C ) = A·B + A·C

En la figura 2.1.8 se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas AND y OR,

Figura 2.1.8. Ley distributiva para tres variables

Teoremas Booleanos

Los teoremas booleanos son enunciados siempre verdaderos, lo que permite la manipulación de expresiones algebraicas, facilitando el análisis ó síntesis de los circuitos digitales. Los teoremas booleanos son los siguientes:

1. X + 0 = X
2. X + 1 = 1
3. X·0 = 0
4. X·1 = X
5. (X’)’=X
6. X + X = X
7. X·X = X
8. X + X’ = 1
9. X.X’= 0
10. X + XY = X
11. X +X’·Y = X + Y
12. X·Y + X·Y’ = X (Teorema de combinación)
13. (X +Y)(X + Y’) = X + X·Y’ + X·Y = X
14. X·Y + X·Z + Y·Z’ = XZ + Y·Z’ (Consenso)
    
    

El teorema 12 se conoce como la ley distributiva para tres variables.

Demostración teorema 12:

X·Y + X·Y’ = X 

Utilizando la ley distributiva para tres variables 

X·Y + X·Y’= X·(Y+Y’) 

Aplicando el teorema 8 se tiene, 

X·Y + X·Y’= X·1 

Dando como resultado, 

X·Y + X·Y’= X

Esta expresión indica que la suma de dos productos canónicos adyacentes, es decir que difieren en una sola de las variables, se reduce al producto de los demás términos suprimiéndose dicha variable. El teorema 13 es otro caso del teorema de combinación. Los teoremas 12 y 13 se utilizarán en las lecciones siguientes de forma sistemática para sintetizar circuitos lógicos con los métodos de mapas de karnaugh y el algortimo de Quine-McCluskey. (ver lección 4).

Teoremas de DeMorgan

Los teoremas de DeMorgan demuestran la equivalencia entre las puertas NAND y negativa - OR, y las puertas NOR y negativa – AND.

1. El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables.
(X₁ + X₂ +.....+ X_n)’ = X₁’ · X₂’ · ..... · X_n’


En el caso de dos variables se tiene,


(X + Y)’ = X’ · Y’


El circuito equivalente a la ecuación anterior se muestra en la figura 2.1.9.



Figura 2.1.9. Símbolo lógico para la compuerta NOR.

Ejemplo

Obtener una compuerta OR utilizando compuertas NAND.

Y = (A + B) = [(A + B)’]’ = (A’·B’)’

Figura 2.1.10. Compuerta OR utilizando compuertas NAND
1. El complemento del producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables.

(X₁ · X₂ ·.....· X_n)’ = X₁’ + X₂’ + .....+ X_n’

En el caso de dos variables se tiene,

(X · Y)’ = X’ + Y’

El circuito equivalente en dos variables a la ecuación se muestra en la figura 2.1.11.

Figura 2.1.11. Símbolo lógico para la compuerta NOR.

Ejemplo

Obtener una compuerta AND utilizando compuertas NOR.

Y = A·B = [(A.B)’]’ = (A’+B’)’

Figura 2.1.12. Circuito lógico para la compuerta AND

Simplificación de Expresiones Lógicas

El objetivo de la simplificación de expresiones lógicas es reducir la expresión al menor número posible de términos. Las expresiones lógicas se pueden simplificar utilizando los teoremas anteriores.

Ejemplo

F = A·B’·C + A·B’C’

F = A·B’·(C + C’)

F = A·B’

Ejemplo

F= (A’+B)·(A+B’)

F = A·A’ + A’·B’ + A·B + B·B’

F = A’·B’ + A·B

Ejemplo

F = [(A’ + C)·(B + D’)]’

F = (A’ + C)’+(B + D’)’

F= A·C’ + B’·D

Ejemplo

F = (X + Z’)·(Z + W·Y)’ + (V·Z + W·X’)·(Y + Z)’

F = (X + Z’)·[Z’·(W’ + Y’)] + [(V·Z + W·X’)·(Y’·Z’)]

F = (X + Z’)·(Z’·W’ + Z’·Y’) + V·Y’·Z·Z’ + W·X’·Y’·Z’

F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + Z’·Z’·W’ + Z’·Z’·Y’ + W·X’·Y’·Z’

F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + W’·Z’ + Y’·Z’ + W·X’·Y’·Z’

F = W’·Z’·(1 + X) + Y’·Z’·(1 + X) + W·X’·Y’·Z’

F = W’·Z’ + Y’·Z’ + W·X’·Y’·Z’

F = W’·Z’ + Y’·Z’·(1 + W·X’)

F = Z’·(W’ + Y’)

Implementación de Funciones Lógicas mediante Compuertas.

La forma más fácil de encontrar la expresión de un circuito lógico consiste en comenzar con las entradas situadas más a la izquierda e ir avanzando hasta la salida de cada compuerta lógica, obteniendo la expresión para cada una de ellas. Al final del recorrido se debe tener la expresión para todo el circuito. La expresión resultante podemos simplificarla para obtener una más sencilla y así obtener un circuito más reducido.

Ejemplo

Encontrar la expresión para el circuito de la figura.

Figura 2.1.13. Símbolo lógico para la compuerta NOR.

1. La expresión de la compuerta NOR situada a la izquierda cuyas entradas son A y B es (A+B)’. Esta es la primera entrada de la compuerta AND situada a la derecha.
   
   
2. La expresión de la compuerta AND cuyas entradas son (A+B)’ y C es (A+B)’·C.
   
   
3. La salida de la compuerta AND es la primera entrada de la compuerta OR del extremo derecho. Por lotanto, la expresión de esta compuerta OR es [(A+B)’·C]+D.